Perkalian pecahan yang panjang

Hitunglah dengan cepat dan tanpa alat bantu: Berapakah setengah dari dua-pertiga dari tiga-perempat dari empat-perlima dari lima-perenam dari enam-pertujuh dari tujuh-perdelapan dari delapan-persembilan dari sembilan-persepuluh dari seratus?

Petunjuk?

Kita tidak perlu mengkalikan semua pecahan tadi. Cukup tiga yang pertama atau yang terakhir, atau malah hanya dua, untuk bisa mengambil kesimpulan.

Jawaban?

Hasil perkalian semua pecahan tadi adalah 1/10.
Dan karenanya jawaban dari pertanyaan adalah 1/10 x 100 = 10.

Laler di hidung

Sebuah kapal berlayar ke arah utara. A berdiri di pinggir kapal menghadap ke barat, sementara B berdiri di pinggir yang lain menghadap ke timur. Tiba-tiba A berkata ke B: "Eh, ada laler di hidungmu!"

Bagaimana A bisa tahu?

Jawaban?

A dan B tidak menghadap langsung ke laut, tapi malah membelakangi. A bisa melihat muka B, dan sebaliknya.

Rumus luas lingkaran

Di sekolah kita belajar bahwa rumus luas lingkaran adalah πr².

Pembuktiannya biasanya jarang diberikan, karena memang memerlukan kalkulus dalam bentuk integral seperti ini.

Sebenarnya, tanpa kalkulus yang kelihatannya rumit, kita bisa membuktikan hal yang sama. Cukup dengan geometri sederhana, yaitu dengan rumus luas segi tiga.

Bagaimana caranya?

Petunjuk?

Selain rumus luas segitiga, gunakan fakta bahwa keliling lingkaran adalah 2πr.

Jawaban?

Kita bagi lingkaran menjadi beberapa segitiga seperti gambar di bawah ini:

Luas satu segitiga adalah:

L₁ = ½·t·a₁

Luas semua segitiga adalah:

L = L₁ + L₂ + L₃ + ... + L_n

atau

L = ½·t·(a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n).

Jumlah dari luas semua segitiga akan makin mendekati luas lingkaran jika jumlah segitiganya makin banyak, alias tinggi t makin mendekati jari-jari, lingkaran, dan alas a makin menciut. Sekarang kita bayangkan segitiganya begitu langsing sehingga gabungan semuanya persis menutupi si lingkaran. Di sini:

t = r

a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n = 2πr.

Dengan demikian luas lingkaran:

L = ½·r·2πr

atau

L = πr².

Jumlah dari seratus angka pertama

Jumlah dari empat bilangan pertama bisa dihitung dengan cepat.
1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Bagaimana dengan jumlah dari seratus bilangan pertama, yaitu 1 + 2 + ... + 99 + 100?
Bagaimana cara cepat untuk menghitung ini tanpa alat bantu dan hanya dalam beberapa detik saja?

Petunjuk?

Keluarkan dulu 50 dan 100; coba hitung mundur juga.

Jawaban?

Jika kita pisahkan 50 dan 100, penjumlahan seratus angka pertama bisa berbentuk seperti ini:

 1 +  2 +  3 + ... + 48 + 49 +
99 + 98 + 97 + ... + 52 + 51 

yang bila dijumlahkan ke bawah akan menghasilkan 100 sebanyak 49 kali. Dengan demikian jumlah total adalah (49 x 100) + 50 + 100 = 5050.

Kejujuran G.E. Moore

Filsuf Bertrand Russell menyebutkan bahwa rekan sejawatnya sesama filsuf, G.E. Moore adalah orang yang paling jujur yang pernah dia temui. Suatu saat Russell bertanya kepada Moore: "Pernahkah anda berbohong?" dan Moore menjawab: "Ya."
Russell kemudian mengomentari kejadian ini: "Saya pikir inilah satu-satunya kebohongan yang pernah diucapkan Moore."

Warisan unta sang Syaikh

Seorang syaikh meninggal dengan mewariskan banyak harta benda untuk tiga orang anaknya. Khusus untuk 17 ekor unta kesayangannya dia berwasiat bahwa 1/2-nya menjadi milik anak pertama, 1/3-nya untuk anak kedua,  dan 1/9-nya diwarisi anak ketiga, dengan syarat semua unta harus dibagi penuh, habis, dan tanpa dipotong-potong.

Ahli waris yang kebingungan meminta tolong ke seorang qadi. Sang qadi membaca surat wasiat itu, merenung sejenak, kemudian pergi ke kandang unta milik dia sendiri. Tak lama kemudian dia sudah datang lagi, dan dengan segera menyelesaikan pembagian unta-unta tsb.

Bagaimana sang qadi memecahkan masalah ini? Berapa unta yang menjadi hak setiap anak?

Petunjuk?

1/2 + 1/3 + 1/9 = 1?

Jawaban?

Karena 1/2 + 1/3 + 1/9 ≠ 1, sang qadi langsung tahu bahwa wasiat ini tricky. 2, 3, dan 9 akan berkelipatan di 18 (ya, ini gunanya belajar KPK di sekolah ...), jadi si qadi pulang ke rumahnya, mengambil seekor unta miliknya, menambahkannya ke unta-unta milik si syaikh sehingga jumlahnya 18.
Anak pertama mendapat 1/2 x 18 = 9 unta.
Anak kedua 1/3 x 18 = 6 unta.
Anak ketiga 1/9 x 18 = 2 unta.
Total yang dibagi: 9 + 6 + 2 = 17 unta. Pas, habis, tidak ada yang dipotong.
Dan si qadi boleh membawa pulang kembali untanya yang dia pinjamkan.