Paradoksi Galileo (1)

Gambar berikut dibuat dengan tahapan sbb.:

1. Buat sembarang bujur sangkar ABCD.
2. Tarik garis diagonal BD.
3. Buat seperempat lingkaran dengan titik pusat di B, jari-jari BC, serta titik akhir di A dan C.
4. Buat garis sembarang HE, yang paralel dengan BC. Garis ini memotong busur AC di F, dan diagonal BD di G.
5. Buat tiga lingkaran dengan pusat di H, dan jari-jari HG, HF, serta HE.

Pertanyaan: Buktikan bahwa luas lingkaran yang diarsir merah, sama dengan luas cincin yang diarsir kuning.

Petunjuk?

Luas lingkaran kecil adalah π·HG², yang tengah π·HF², yang luar π·HE².
Yang harus dibuktikan adalah: π·HE² - π·HF² = π·HG².
Atau: π·HE² = π·HF² + π·HG².
Tidakkah ini terlihat seperti persamaan Pythagoras?

Jawaban?

Harus diakui, ini bukan tebak-tebakan yang bisa diajukan di pesta ulang tahun.
Mari kita lihat segitiga BFH.
Berdasarkan teorema Pythagoras, berlaku:
BH² + HF² = BF².
Karena:
BH = HG,
BF = BC = HE,
maka
HG² + HF² = HE²,
atau
HE² - HF² = HG².
Dan jika semua dikalikan π:
π·HE² - π·HF² = π·HG².
Artinya luas lingkaran terluar dikurangi luas lingkaran tengah, dan ini adalah luas dari cincin yang kuning, sama dengan luas lingkaran yang kecil.